FDTD 상세 설명

선수 지식

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FDTD(유한차분 시간영역법)는 COMPASS의 또 다른 주요 솔버 유형입니다. 주파수 공간에서 작동하는 RCWA와 달리, FDTD는 전자기파가 시간에 따라 공간을 통해 어떻게 전파되는지를 직접 시뮬레이션합니다. 공간을 3D 격자로 나누고 시간 단계별로 전진하며, 마치 빛이 픽셀을 통과하는 영상을 보는 것과 같습니다.

유한차분 시간영역법(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)은 COMPASS의 두 번째 주요 솔버 방법입니다. 이산화된 공간 및 시간 격자 위에서 맥스웰 방정식을 직접 풉니다.

핵심 개념

FDTD는 맥스웰 방정식의 연속 미분을 엇갈린 격자(Staggered Grid), 즉 이 격자(Yee Lattice) 위에서의 유한 차분으로 대체합니다. 전기장과 자기장은 도약 개구리(Leapfrog) 시간 전진 기법으로 교대로 업데이트됩니다:

1. $\mathbf{E}$로부터 $\mathbf{H}$를 업데이트합니다 (반 시간 단계).
2. $\mathbf{H}$로부터 $\mathbf{E}$를 업데이트합니다 (반 시간 단계).
3. 시뮬레이션이 정상 상태(Steady State)에 도달하거나 펄스가 완전히 전파될 때까지 반복합니다.

이 격자

이 셀(Yee Cell)은 각 격자 셀 내에서 여섯 개의 전기장 성분($E_x,E_y,E_z,H_x,H_y,H_z$)을 엇갈린 위치에 배치합니다:

        Hz ---- Ey
        |       |
        Ex      |
        |       |
        Ey ---- Hz

이러한 엇갈림 배치 덕분에 모든 유한 차분 회전(Curl) 근사가 2차 정확도를 가지며, 발산 조건($\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$)을 자연스럽게 만족합니다.

Interactive Yee Cell Viewer

Visualize the staggered Yee grid cell used in FDTD simulations. E-field components sit on cell edges, while H-field components sit on face centers.

Show E-fields Show H-fields

Grid spacing dx: 25 nm

Cells per wavelength (550 nm):5.5

Courant number S:0.5716

Stability limit (1/sqrt(3)):0.5774

Warning: Need 10+ cells/wavelength for accuracy

Staggered Grid Concept

The Yee cell staggers E and H field components in both space and time. E-field components are located on the edges of the cell, while H-field components are located at the face centers.

This arrangement ensures that every curl finite-difference is centered, giving second-order accuracy. The spatial staggering by half a grid cell naturally satisfies the divergence-free conditions for both E and B fields.

For a grid spacing of 25 nm, the cell resolves 5.5 points per wavelength at 550 nm in silicon (n=4). A minimum of 10 cells per wavelength is recommended.

업데이트 방정식

비자성 매질에서 단일 성분(예: $E_x$)에 대한 업데이트 방정식은 다음과 같습니다:

$$E_x^{n+1}(i,j,k)=E_x^n(i,j,k)+\frac{\mathrm{\Delta }t}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r(i,j,k)}(\frac{H_z^{n+1/2}(i,j,k)-H_z^{n+1/2}(i,j-1,k)}{\mathrm{\Delta }y}-\frac{H_y^{n+1/2}(i,j,k)-H_y^{n+1/2}(i,j,k-1)}{\mathrm{\Delta }z})$$

자기장 성분도 유사하게 업데이트됩니다.

안정성: 쿠랑 조건

시간 간격 $\mathrm{\Delta }t$은 수치적 불안정을 방지하기 위해 쿠랑-프리드리히스-레비(Courant-Friedrichs-Lewy, CFL) 조건을 만족해야 합니다:

$$\mathrm{\Delta }t\le \frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{y}^2}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{z}^2}}}$$

여기서 $c$는 빛의 속도입니다. COMPASS FDTD 솔버는 격자 간격으로부터 최대 안정 시간 간격을 자동으로 계산합니다.

경계 조건

주기 경계 조건 (블로흐)

평면파 여기를 사용하는 픽셀 시뮬레이션에서, COMPASS는 수평(xy) 방향으로 **블로흐 주기 경계 조건(Bloch Periodic Boundary Conditions)**을 사용합니다:

$$\mathbf{E}(x+{\mathrm{\Lambda }}_x,y,z)=\mathbf{E}(x,y,z)e^{i{k}_x{\mathrm{\Lambda }}_x}$$

이는 동일한 픽셀의 무한 배열을 모델링하며, RCWA의 가정과 일치합니다.

흡수 경계 조건 (PML)

수직(z) 방향에서는 **완전 정합 흡수층(Perfectly Matched Layer, PML)**이 나가는 파동을 반사 없이 흡수합니다. PML은 경계 내부로 점진적으로 증가하는 전도도를 가진 손실 매질입니다:

$$\sigma (z)={\sigma }_{\text{max}}{\left(\frac{z}{d_{\text{PML}}}\right)}^p$$

지수 $p$(일반적으로 3~4)와 PML 두께(일반적으로 10~20 셀)가 흡수 품질을 제어합니다. 급격한 PML은 허위 반사(Spurious Reflection)를 유발할 수 있습니다.

소스 주입

COMPASS는 전체장/산란장(Total-Field/Scattered-Field, TFSF) 기법 또는 소스 평면에서의 전기장 값 지정을 통해 평면파를 주입합니다. 단색 시뮬레이션의 경우, 연속파(Continuous-Wave, CW) 소스를 사용하며 전기장이 정상 상태에 도달할 때까지 시뮬레이션을 실행합니다.

결과 추출

FDTD 시뮬레이션이 정상 상태에 도달한 후, COMPASS는 다음을 추출합니다:

• 반사율 및 투과율: 구조 위와 아래의 모니터 평면을 통과하는 포인팅 플럭스(Poynting Flux).
• 전기장 분포: 임의의 평면에서 $|\mathbf{E}{|}^2$의 스냅샷.
• 픽셀별 흡수: 각 포토다이오드(Photodiode) 영역 내에서 $\frac{1}{2}\omega {\epsilon }^{″}|\mathbf{E}{|}^2$의 체적 적분.

격자 해상도

공간 격자는 가장 작은 기하학적 구조와 모든 재료에서의 최단 파장을 모두 분해해야 합니다:

$$\mathrm{\Delta }x\le \frac{{\lambda }_{\text{min}}}{n_{\text{max}}\cdot N_{\text{ppw}}}$$

여기서 $N_{\text{ppw}}$는 파장당 격자점 수(일반적으로 2차 FDTD에서 15~20)입니다. 400 nm에서 실리콘($n\approx 4$)의 경우:

$$\mathrm{\Delta }x\le \frac{0.4\text{ um}}{4\times 20}=5\text{ nm}$$

이로 인해 RCWA에 비해 큰 격자와 긴 실행 시간이 필요할 수 있습니다.

COMPASS의 FDTD 솔버

솔버	라이브러리	GPU 지원	비고
fdtd_flaport	fdtd (flaport)	CUDA (PyTorch)	경량, 프로토타이핑에 적합.
fdtdz	fdtdz	CUDA	적층된 2.5D 구조에 특화.
meep	Meep	CPU (MPI)	완전한 기능, 분산 재료를 기본 지원.

FDTD를 선택해야 하는 경우

FDTD가 더 적합한 경우는 다음과 같습니다:

• 구조에 비주기적(Non-periodic) 또는 비반복적(Aperiodic) 특징이 있는 경우.
• 파장 루프 없이 단일 시뮬레이션 실행으로 광대역(Broadband) 응답이 필요한 경우(펄스 여기).
• 시간 영역 전기장 전파를 시각화하고자 하는 경우.
• 푸리에 공간 데이터에서 추출하기 어려운 근접장(Near-field) 효과를 연구하는 경우.

표준적인 주기 픽셀 시뮬레이션에서는 RCWA가 일반적으로 더 빠르고 정확합니다. 자세한 비교는 RCWA vs FDTD를 참조하십시오.