전자기파

선수 지식

이 페이지를 읽기 전에 광학 기초 입문과 빛의 기초를 먼저 읽어보세요.

왜 맥스웰 방정식이 필요할까요? 맥스웰 방정식은 빛이 픽셀 내부의 미세한 구조와 만날 때 정확히 어떻게 행동하는지를 알려주기 때문입니다. 픽셀 구조의 크기가 빛의 파장(~0.5 um)보다 작아지면, 단순한 광선 추적(Ray Tracing)으로는 충분하지 않으며 맥스웰 방정식이 제공하는 완전한 파동 해석이 필요합니다. COMPASS의 솔버(RCWA와 FDTD)는 모두 이 방정식을 수치적으로 푸는 방법입니다.

이 페이지에서는 RCWA 및 FDTD 솔버가 내부적으로 사용하는 맥스웰 방정식(Maxwell's Equations)과 파동 형식론을 소개합니다.

Electromagnetic Wave Propagation

Animated EM wave showing perpendicular E and H fields. Adjust absorption to see exponential decay in an absorbing medium.

Wavelength: 550 nm

Absorption k: 0.00

맥스웰 방정식

모든 전자기 현상은 네 개의 방정식으로 지배됩니다. 선형, 등방성, 비자성 매질에서 자유 전하가 없는 경우:

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-{\mu }_0\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_r\mathbf{E})=0$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{H}=0$$

여기서 $\mathbf{E}$는 전기장(Electric Field), $\mathbf{H}$는 자기장(Magnetic Field), ${\epsilon }_r$은 비유전율(Relative Permittivity, 복소수이며 공간적으로 변할 수 있음), ${\epsilon }_0$는 진공 유전율(Vacuum Permittivity), ${\mu }_0$는 진공 투자율(Vacuum Permeability)입니다.

시간 조화 형식

단색(단일 주파수) 빛의 시간 의존성이 $e^{-i\omega t}$인 경우, 회전(Curl) 방정식은 다음과 같이 됩니다:

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=i\omega {\mu }_0\mathbf{H}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}=-i\omega {\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E}$$

이것이 RCWA의 출발점으로, 주파수 영역(Frequency Domain)에서 시간 조화 방정식을 풉니다. FDTD는 이와 달리 시간 영역(Time Domain) 방정식을 격자 위에서 직접 풉니다.

평면파

균일한 매질에서 맥스웰 방정식의 가장 단순한 해는 평면파(Plane Wave)입니다:

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)={\mathbf{E}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$$

여기서 파수 벡터(Wave Vector) $\mathbf{k}$는 분산 관계(Dispersion Relation)를 만족합니다:

$$|\mathbf{k}{|}^2=k_0^2{\epsilon }_r,k_0=\frac{2\pi }{\lambda }$$

COMPASS에서 입사광은 항상 평면파(또는 원추 조명을 위한 평면파의 가중 합)입니다. 솔버는 이 평면파가 적층된 픽셀 구조와 어떻게 상호작용하는지를 계산합니다.

입사 기하학

COMPASS는 입사파 방향에 대해 구면 좌표계(Spherical Coordinate) 규약을 사용합니다:

• $\theta$: 표면 법선(z축)으로부터 측정한 극각(Polar Angle)입니다. $\theta =0$은 수직 입사(Normal Incidence)입니다.
• $\varphi$: xy 평면에서의 방위각(Azimuthal Angle)입니다. $\varphi =0$은 x축 방향입니다.

입사 매질($n_{\text{inc}}$)에서 파수 벡터의 횡방향 성분은 다음과 같습니다:

$$k_x=k_0{n}_{\text{inc}}\sin \theta \cos \varphi$$$$k_y=k_0{n}_{\text{inc}}\sin \theta \sin \varphi$$

이 성분들은 모든 계면에서 보존되며(스넬의 법칙을 3D로 일반화한 것), RCWA와 FDTD 모두 이 방법으로 입사각을 적용합니다.

경계 조건

두 매질의 경계면에서 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{H}$의 접선 성분은 연속이어야 합니다:

$${\mathbf{E}}_{t,1}={\mathbf{E}}_{t,2}$$$${\mathbf{H}}_{t,1}={\mathbf{H}}_{t,2}$$

이 조건들로부터 단일 계면에서의 프레넬 반사 및 투과 계수(Fresnel Reflection and Transmission Coefficients)가 도출됩니다:

$$r_{\text{TE}}=\frac{n_1\cos {\theta }_1-n_2\cos {\theta }_2}{n_1\cos {\theta }_1+n_2\cos {\theta }_2}$$$$r_{\text{TM}}=\frac{n_2\cos {\theta }_1-n_1\cos {\theta }_2}{n_2\cos {\theta }_1+n_1\cos {\theta }_2}$$

측면 패턴이 있는 다층 스택의 경우, 이 조건들은 수치적으로 풀어야 하며, 이것이 바로 RCWA와 FDTD가 수행하는 작업입니다.

에너지 흐름: 포인팅 벡터

시간 평균 단위 면적당 전력 흐름은 포인팅 벡터(Poynting Vector)로 주어집니다:

$$⟨\mathbf{S}⟩=\frac{1}{2}\text{Re}(\mathbf{E}\times {\mathbf{H}}^{\ast })$$

z 성분 $S_z$는 수평면을 통과하는 전력의 크기를 나타냅니다. COMPASS는 포인팅 벡터를 사용하여 다음을 계산합니다:

• 반사율(Reflection) ($R$): 구조 위로 반사되는 전력.
• 투과율(Transmission) ($T$): 구조 아래로 투과되는 전력.
• 흡수율(Absorption) ($A$): 구조 내에서 흡수되는 전력으로, $A=1-R-T$로 계산됩니다.
• 픽셀별 QE: 각 포토다이오드 영역에서 흡수되는 전력.

두 가지 솔버 접근법의 필요성

맥스웰 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있으며, 각각 장단점이 있습니다:

접근법	방법	강점
주파수 영역	RCWA	주기 구조에 대해 빠르고, 정확한 주기성 처리, 효율적인 파장 스윕
시간 영역	FDTD	임의의 형상 처리 가능, 단일 실행으로 광대역 응답 획득, 직관적인 전기장 시각화

COMPASS는 두 솔버를 모두 지원하므로, 각 문제에 가장 적합한 도구를 선택하고 결과를 상호 검증할 수 있습니다. 자세한 내용은 RCWA 상세 설명과 FDTD 상세 설명을 참조하십시오.